Frenet Apparatus II

Keywords: Frenet Serret Frame, TNB Frame, Frenet Serret Theorem, Frenet Apparatus

이전 포스팅 (Frenet Apparatus I) 에서는 주어진 curve가 unit speed curve임을 가정하고 Frenet apparatus를 유도하였다. 그런데, 현실 세계에서는 non-unit speed curve ¹ 가 훨씬 많거니와 arc-length reparameterization을 하는 것도 어려울 수 있다. 그래서, 이 포스팅에서는 주어진 non-unit speed regular ² curve \(\alpha(t)\)로부터 곧바로 Frenet apparatus를 구하는 방법을 소개해보려고 한다.

이 포스팅에서 소개할 공식들의 유도를 위해서는 chain-rule이 자주 사용된다. 그런데, 이것이 적다보면 몹시 헷갈리므로 필자는 이 포스팅에서만큼은 집요하게 라이프니츠식 표현을 사용할 것이다. 예를 들어, 앞선 포스팅에서 \(\mathbf{T}^{\prime}(s)\)와 같이 뉴턴식 표기를 사용했던 것도 이 포스팅에서는 \(\frac{d}{ds}\mathbf{T}(s)\)와 같이 표기할 것이다.

Goals

실제로는 구하기 어렵겠지만, 어떻게든 당신이 \(\alpha(t)\)의 arc-length function \(s(t)\)를 구해서 arc-length reparameterized curve \(\bar{\alpha}(s(t))\)를 구했다고하자. 앞으로의 표기에서 bar (\(\bar{\quad}\)) 는 arc length reparameterized curve에 대한 값들임을 나타내는데 사용할 것이다. 이제 우리의 목표는 실제로 \(s(t)\)를 구하지 않고, 아래와 같이 정의되는 5개의 Frenet apparatus를 구하는 공식을 찾는 것이다.

• Unit tangent vector field: \(\mathbf{T}(t) = \bar{\mathbf{T}}(s(t))\)
• Unit principal normal vector field: \(\mathbf{N}(t) = \bar{\mathbf{N}}(s(t))\)
• Unit binormal vector field: \(\mathbf{B}(t) = \bar{\mathbf{B}}(s(t))\)
• Curvature: \(\kappa(t) = \bar{\kappa}(s(t))\)
• Torsion: \(\tau(t) = \bar{\tau}(s(t))\)

Frenet-Serret theorem

순서가 조금 파격적이지만, non-unit speed curve에 대한 Frenet-Serret theorem부터 이야기할 것이다. 이 순서로 이야기하는 편이 나머지 내용을 설명하는데 도움이 되기 때문이다. Non-unit speed curve에 대한 Frenet-Serret theorem은 아래와 같다 (unit speed 버전에서 계수행렬에 \(v(t)\)가 곱해진 형태).

\[\begin{align} \left[ \begin{array}{c} \frac{d}{dt}\mathbf{T}(t) \\ \frac{d}{dt}\mathbf{N}(t) \\ \frac{d}{dt}\mathbf{B}(t) \\ \end{array} \right] & = \left[ \begin{array}{ccc} 0 & \kappa(t) v(t) & 0 \\ -\kappa(t) v(t) & 0 & \tau(t) v(t) \\ 0 & -\tau(t) v(t) & 0 \\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \mathbf{T}(t) \\ \mathbf{N}(t) \\ \mathbf{B}(t) \\ \end{array} \right] \\ & \text{where } v(t) = ||\frac{d}{dt}\alpha(t)|| \end{align}\]

첫 행의 관계식은 chain rule로부터 쉽게 유도될 수 있다. (1)은 unit speed curve에 대한 Frenet-Serret theorem을 사용한 것이니 긴가민가 하다면 이전 포스팅을 보고오셔라.

\[\begin{align} & \mathbf{T}(t) = \bar{\mathbf{T}}(s(t)) \\ \Rightarrow & \frac{d}{dt}\mathbf{T}(t) = \frac{d}{ds}\bar{\mathbf{T}}(s(t)) \frac{d}{dt}s(t) \\ \Rightarrow & \frac{d}{dt}\mathbf{T}(t) = \frac{d}{ds}\bar{\mathbf{T}}(s(t)) v(t) \quad - \because \frac{d}{dt}s(t) = \frac{d}{dt} \int_{0}^{t} ||\frac{d}{du}\alpha(u)||\,du \\ \Rightarrow & \frac{d}{dt}\mathbf{T}(t) = \bar{\kappa}(s(t)) \bar{\mathbf{N}}(s(t)) v(t) \quad - (1) \\ \Rightarrow & \frac{d}{dt}\mathbf{T}(t) = \kappa(t) \mathbf{N}(t) v(t) \\ \end{align}\]

두번째, 세번째 행의 관계식도 비슷하게 유도된다. 첫번째 행의 관계식 유도와 많이 유사하기 때문에 굳이 중복되는 과정을 풀어쓰지는 않았다.

\[\begin{align} & \mathbf{N}(t) = \bar{\mathbf{N}}(s(t)) \\ \Rightarrow & \frac{d}{dt}\mathbf{N}(t) = \frac{d}{ds}\bar{\mathbf{N}}(s(t)) \frac{d}{dt}s(t) \\ \Rightarrow & \frac{d}{dt}\mathbf{B}(t) = (-\bar{\kappa}(s(t)) \bar{\mathbf{T}}(s(t)) + \bar{\tau}(s(t)) \bar{\mathbf{B}}(s(t)) ) v(t) \\ \Rightarrow & \frac{d}{dt}\mathbf{B}(t) = (-\kappa(t) \mathbf{T}(t) + \tau(t) \mathbf{B}(t)) v(t) \\ \end{align}\] \[\begin{align} & \mathbf{B}(t) = \bar{\mathbf{B}}(s(t)) \\ \Rightarrow & \frac{d}{dt}\mathbf{B}(t) = \frac{d}{ds}\bar{\mathbf{B}}(s(t)) \frac{d}{dt}s(t) \\ \Rightarrow & \frac{d}{dt}\mathbf{B}(t) = -\bar{\tau}(s(t)) \bar{\mathbf{N}}(s(t)) v(t) \\ \Rightarrow & \frac{d}{dt}\mathbf{B}(t) = -\tau(t) \mathbf{N}(t) v(t) \\ \end{align}\]

Lemmas !

자꾸 변죽부터 울려대서 미안하지만, velocity (\(\frac{d}{dt}\alpha(t)\)) 와 acceleration (\(\frac{d^2}{dt^2}\alpha(t)\)) 에 대한 lemma 2개만 만들어 놓고가자. 뒤에 나올 수식이 원체 복잡스러워서 이러는 것이니 양해를 바란다.

Lemma 1: velocity

\[\frac{d}{dt} \alpha(t) = v(t) \mathbf{T}(t)\]

이 lemma는 딱히 증명이 필요하지 않다. 우리는 \(v(t)\)를 \(v(t) = ||\frac{d}{dt}\alpha(t)||\)와 같이 정의했고, \(\mathbf{T}(t)\)는 접선방향의 단위벡터이다. 크기와 방향을 곱한 것 뿐이니 뭐 달리 증명할 것이 있겠는가?

Lemma 2: acceleration

\[\frac{d^2}{dt^2}\alpha(t) = \mathbf{T}(t) \frac{d}{dt}v(t) + \kappa(t) v(t)^2 \mathbf{N}(t)\]

이 lemma는 lemma 1의 양변을 미분하여 증명할 수 있다. (2)에서는 앞서 유도했던 Frenet-Serret theorem for non-unit curve가 사용되었음에 주의하자.

\[\begin{align} & \frac{d}{dt} \alpha(t) = v(t) \mathbf{T}(t) \\ \Rightarrow & \frac{d^2}{dt^2} \alpha(t) = \mathbf{T}(t) \frac{d}{dt}v(t) + v(t) \mathbf{T}^{\prime}(t) \\ \Rightarrow & \frac{d^2}{dt^2} \alpha(t) = \mathbf{T}(t) \frac{d}{dt}v(t) + v(t) \kappa(t) v(t) \mathbf{N}(t) - \quad (2) \\ \Rightarrow & \frac{d^2}{dt^2} \alpha(t) = \mathbf{T}(t) \frac{d}{dt}v(t) + v(t)^2 \kappa(t) \mathbf{N}(t) \\ \end{align}\]

Frenet-Serret apparatus for non-unit speed curve

이제 본격적으로 non-unit speed curve의 Frenet apparatus를 구해보도록하겠다. 공식이 조금 끔찍하지만 결론부터 이야기하면 Frenet apparatus 공식은 아래와 같다.

\[\begin{align} \underline{Thm 1:} \quad & \mathbf{T}(t) = \frac{\frac{d}{dt}\alpha(t)}{||\frac{d}{dt}\alpha(t)||} \\ \underline{Thm 2:} \quad & \mathbf{N}(t) = \mathbf{B}(t) \times \mathbf{T}(t) \\ \underline{Thm 3:} \quad & \mathbf{B}(t) = \frac { \frac{d}{dt}\alpha(t) \times \frac{d^2}{dt^2}\alpha(t) } { ||\frac{d}{dt}\alpha(t) \times \frac{d^2}{dt^2}\alpha(t)|| } \\ \underline{Thm 4:} \quad & \kappa(t) = \frac { ||\frac{d}{dt}\alpha(t) \times \frac{d^2}{dt^2}\alpha(t)|| } { ||\frac{d}{dt}\alpha(t)||^3 } \\ \underline{Thm 5:} \quad & \tau(t) = \frac { (\frac{d}{dt}\alpha(t) \times \frac{d^2}{dt^2}\alpha(t)) \cdot \frac{d^3}{dt^3}\alpha(t) } { ||\frac{d}{dt}\alpha(t) \times \frac{d^2}{dt^2}\alpha(t)||^2 } \\ \end{align}\]

필자가 어떤 공식을보고 “참 X같이 생겼네” 싶은 것은 삼각함수 공식들 이후로 꽤나 오랜만인데, 그래도 하나하나 차분히 살펴보도록하자. 다행히도 Thm1은 lemma1 에서 바로 유도되기 때문에 별도로 증명할 필요는 없을 것 같다. Thm2도, \(\mathbf{B}(t)\)와 \(\mathbf{T}(t)\)를 구했으면 당연한 것이니 따로 증명할 필요가 없을 것이다. 증명할 값어치가 있어보이는 것들 부터 증명해보자. 아래를 증명하는 과정에서 위에서 만든 lemma들이 적극 사용될 것이다.

Proof of Thm3

우선 분자 분모에 들어가는 알맹이 \(\frac{d}{dt}\alpha(t) \times \frac{d^2}{dt^2}\alpha(t)\)가 대체 무엇인지 살펴보자.

\[\begin{align} \frac{d}{dt}\alpha(t) \times \frac{d^2}{dt^2}\alpha(t) & = v(t)\mathbf{T}(t) \times (\mathbf{T}(t) \frac{d}{dt}v(t) + \kappa(t) v(t)^2 \mathbf{N}(t)) - \quad \text{by lemma 1, 2} \\ & = \kappa(t) v(t)^3 \mathbf{T}(t) \times \mathbf{N}(t) \\ & = \kappa(t) v(t)^3 \mathbf{B}(t) \\ \end{align}\]

이 알맹이를 Thm3에 대입하면 곧바로 증명이 되는 것을 알 수 있다.

Proof of Thm4

Thm3을 증명하는 과정에서 우리는 \(||\frac{d}{dt}\alpha(t) \times \frac{d^2}{dt^2}\alpha(t)|| = \kappa(t) v(t)^3\) 을 얻었다. 그리고, lemma 1으로부터 \(||\frac{d}{dt} \alpha(t)|| = v(t)\) 임을 알고있다. 역시 그대로 대임만해주면 증명이 된다.

Proof of Thm5

Thm5의 증명을 간단하게 (무식하게 식을 풀어쓰지 않고) 하기 위해서는 조금 짱구를 굴려야한다. 우선 분자를 살펴보자. Thm3를 증명하면서 얻은 알맹이를 사용하면 아래와 같이 식을 다시 쓸 수 있다.

\[(\frac{d}{dt}\alpha(t) \times \frac{d^2}{dt^2}\alpha(t)) \cdot \frac{d^3}{dt^3}\alpha(t) = \kappa(t) v(t)^3 \mathbf{B}(t) \cdot \frac{d^3}{dt^3}\alpha(t)\]

식의 마지막 부분인 \(\mathbf{B}(t) \cdot \frac{d^3}{dt^3}\alpha(t)\)을 잘 생각해보면 결국 \(\frac{d^3}{dt^3}\alpha(t)\)를 \(\mathbf{B}(t)\)에 사영 (i.e., projection) 하는 것임을 알 수 있다. 따라서, 진짜 우직하게 \(\frac{d^3}{dt^3}\alpha(t)\)를 다 구할 필요 없이 계산과정에서 \(\mathbf{B}(t)\) 성분만 남기고 \(\mathbf{T}(t)\), \(\mathbf{B}(t)\) 성분들은 무시해주면 된다. 이제 lemma 2의 양변을 미분하여 \(\frac{d^3}{dt^3}\alpha(t)\)를 스마트하게 구해보도록하자.

\[\begin{align} \frac{d^3}{dt^3}\alpha(t) & = \frac{d}{dt} (\mathbf{T}(t) \frac{d}{dt}v(t) + \kappa(t) v(t)^2 \mathbf{N}(t)) \\ & = \frac{d}{dt} \mathbf{T}(t) + \mathbf{T}(t) \frac{d^2}{dt^2} v(t) + \frac{d}{dt}(\kappa(t) v(t)^2) \mathbf{N}(t) + \kappa(t) v(t)^2 \frac{d}{dt} \mathbf{N}(t) \\ & = \kappa(t) v(t) \mathbf{N}(t) + \mathbf{T}(t) \frac{d^2}{dt^2} v(t) + \frac{d}{dt}(\kappa(t) v(t)^2) \mathbf{N}(t) + \kappa(t) v(t)^2 \frac{d}{dt} \mathbf{N}(t) \\ & = \kappa(t) v(t) \mathbf{N}(t) + \mathbf{T}(t) \frac{d^2}{dt^2} v(t) + \frac{d}{dt}(\kappa(t) v(t)^2) \mathbf{N}(t) + \kappa(t) v(t)^2 (-\kappa(t) v(t) \mathbf{T}(t) + \tau(t) v(t) \mathbf{B}(t)) \\ \end{align}\]

위의 식에서 \(\mathbf{B}(t)\) 성분만 추려내주면 \(\kappa(t)\tau(t)v(t)^3\mathbf{B}(t)\)가 된다. 따라서, 아래를 얻을 수 있다.

\[\begin{align} (\frac{d}{dt}\alpha(t) \times \frac{d^2}{dt^2}\alpha(t)) \cdot \frac{d^3}{dt^3}\alpha(t) & = \kappa(t) v(t)^3 \mathbf{B}(t) \cdot \frac{d^3}{dt^3}\alpha(t) \\ & = \kappa(t)^2 \tau(t) v(t)^6 \end{align}\]

Thm5의 분모는 Thm3의 증명과정에서 이미 구하였고, 이제 얻어진 식들을 대입만 해주면 증명이 완료됨을 알 수 있다.