Linear System

Keywords: Linear System

I. 선형 시스템의 행렬 표현

앞으로 다룰 문제들은 모두 행렬 형태로 기술할 것이다. 우선 결론부터 말하면, 선형 시스템의 행렬 표현은 다음과 같다.

\[\begin{align} \dot{\mathbf{X}} & = \mathbf{A}\mathbf{X} \end{align}\]

왜 이 형태가 선형인지 궁금하다면 이어지는 서브섹션을 참고하고, 그렇지 않다면 다음 섹션으로 넘어가도 좋다. 시스템이 선형인지 판정하려면 가산성 (additivity) 과 동차성 (homogeneity) 을 만족하는지 확인하면 된다. 즉, 두 해를 더한 것도 해가 되는지, 또한 한 해에 임의의 상수를 곱한 것도 해가 되는지를 확인하는 것이다.

I.1. 가산성 (Additivity)

• \(\mathbf{X}_{1}\) 과 \(\mathbf{X}_{2}\) 이 각각 \(\dot{\mathbf{X}} = \mathbf{A}\mathbf{X}\) 의 해라고 가정하자.
• 그러면 \(\dot{\mathbf{X}_1} = \mathbf{A}\mathbf{X}_1\) 이고 \(\dot{\mathbf{X}_2} = \mathbf{A}\mathbf{X}_2\) 이다.
• 두 식을 더하면 \(\dot{\mathbf{X}_1} + \dot{\mathbf{X}_2} = \mathbf{A}\mathbf{X}_1 + \mathbf{A}\mathbf{X}_2\) 를 얻는다.
• \(\mathbf{Z} = \mathbf{X}_1 + \mathbf{X}_2\) 로 정의하면 \(\dot{\mathbf{Z}} = \mathbf{A}\mathbf{Z}\) 를 얻을 수 있고, 두 해를 더한 것도 역시 해가 됨을 알 수 있다.

I.2. 동차성 (Homogeneity)

• \(\mathbf{X}_{1}\) 이 \(\dot{\mathbf{X}} = \mathbf{A}\mathbf{X}\) 의 해라고 가정하자.
• 그러면 \(\dot{\mathbf{X}_1} = \mathbf{A}\mathbf{X}_1\) 이다.
• 양변에 임의의 상수 \(k\) 를 곱하면 \(k\dot{\mathbf{X}_1} = k \mathbf{A}\mathbf{X}_1\) 를 얻는다.
• \(\mathbf{Z} = k \mathbf{X}_1\) 로 정의하면 \(\dot{\mathbf{Z}} = \mathbf{A}\mathbf{Z}\) 를 얻을 수 있고, 해에 상수를 곱한 것도 역시 해가 됨을 알 수 있다.

II. 행렬로 표현된 선형 시스템의 해

역시 결론부터 말하면, \(\dot{\mathbf{X}} = \mathbf{A}\mathbf{X}\) 의 해는 \(\mathbf{X}(t) = e^{\mathbf{A}t} \mathbf{X}(0)\) 이다. 그리고 \(e^{\mathbf{A}t}\) 는 행렬 지수함수(matrix exponential)라 하며, \(e^{\mathbf{A}t} = \mathbf{I} + \mathbf{A}t + \frac{(\mathbf{A}t)^2}{2!} + \frac{(\mathbf{A}t)^3}{3!} + \cdots\) 와 같이 정의된다. 이건 예제 몇개를 가지고 직접 풀어보면 사뭇 자명한데, 필자는 귀찮아서 그냥 받아들였다.

III. 이산 선형 시스템

연속시간 시스템 \(\dot{\mathbf{X}} = \mathbf{A} \mathbf{X}\) 의 이산시간 형태는 아래와 같다.

\[\begin{align} \mathbf{X}_{k+1} = e^{\mathbf{A} \Delta t} \mathbf{X}_{k} \end{align}\]

유도는 아래와 같다:

• \(\dot{\mathbf{X}} = \mathbf{A} \mathbf{X}\) 의 해는 \(\mathbf{X}(t) = e^{\mathbf{A}t} \mathbf{X}(0)\) 이다.
• 따라서, \(\mathbf{X}(t + \Delta t) = e^{\mathbf{A}(t + \Delta t)}\mathbf{X}(0)\) 이다.
• 지수법칙을 이용하면, \(\mathbf{X}(t + \Delta t) = e^{\mathbf{A}(t + \Delta t)}\mathbf{X}(0) = e^{\mathbf{A}\Delta t}e^{\mathbf{A}t}\mathbf{X}(0) = e^{\mathbf{A}\Delta t}\mathbf{X}(t)\) 이다.
• \(t = k\Delta t\) 로 두고 \(\mathbf{X}_k = \mathbf{X}(k\Delta t)\) 로 정의하면, \(\mathbf{X}_{k+1} = e^{\mathbf{A}\Delta t}\mathbf{X}_k\) 를 얻는다.

IV. 행렬로 표현된 선형 시스템의 예시

고전적인 질량-스프링-댐퍼(mass-spring-damper) 시스템을 생각해보자. 질량-스프링-댐퍼 시스템은 \(m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = 0\) 으로 표현된다. 상태벡터를 \(\mathbf{X} = [x \; \dot{x}]^T\) 로 정의하면, 이 시스템은 아래와 같이 표현할 수 있다.

\[\begin{align} \dot{\mathbf{X}} & = \mathbf{A} \mathbf{X} \\ \left[\begin{array}{c} \dot{x} \\ \ddot{x} \\ \end{array}\right] & = \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -\frac{k}{m} & -\frac{c}{m} \\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x \\ \dot{x} \\ \end{array}\right] \end{align}\]

이 시스템의 해 역시 \(\mathbf{X}(t) = e^{\mathbf{A}t} \mathbf{X}(0)\) 이다. 위에서 소개한 행렬 지수함수 정의에 따라 \(e^{\mathbf{A}t}\) 를 전개해 보면, 공학수학에서 배운 해와 정확히 일치함을 확인할 수 있다.

V. 비선형 시스템을 선형화하는 방법

마지막으로 비선형 시스템을 선형화하는 방법을 살펴보자. 대부분의 경우 풀어야 할 (제어해야 할) 시스템은 비선형으로 표현된다. 이때는 테일러 급수(Taylor series)를 이용해 주어진 비선형 시스템을 특정 평형점 근방에서 선형 시스템으로 근사할 수 있다. 행렬로 표현되는 시스템의 선형화에는 야코비안(Jacobian)이 등장하므로, 예제를 통해 단계별로 설명한다.

\(\ddot{\theta} = -\frac{g}{L}\sin{\theta} - \delta \dot{\theta}\) 와 같이 표현되는 간단한 진자운동을 생각해보자. \(\mathbf{X} = [\theta \; \dot{\theta}]^T\) 라고 정의해보자. 이것을 \(\dot{\mathbf{X}} = \mathbf{A}\mathbf{X}\) 의 꼴로 나타낼 수 있는가? 중간에 섞여있는 \(\sin{\theta}\) 때문에 불가능하고, 이것은 대표적인 비선형 시스템이다. 이제 이것을 선형화를 통해 선형 시스템으로 근사해보자.

먼저 주어진 비선형 시스템을 \(\dot{\mathbf{X}} = \mathbf{f}(\mathbf{X})\) 형태로 표현하면 다음과 같다.

\[\begin{align} \dot{\mathbf{X}} & = \mathbf{f}(\mathbf{X}) = \left[\begin{array}{c} \dot{\theta} \\ -\dfrac{g}{L}\sin{\theta} - \delta\dot{\theta} \\ \end{array}\right] \end{align}\]

이제 평형점 \(\mathbf{X}^{*} = [\theta^{*} \; \dot{\theta}^{*}]^T\) 근방에서 \(\mathbf{f}(\mathbf{X})\) 를 1차 테일러 전개하면 다음과 같다 (즉, \(\mathbf{f}(\mathbf{X}^{*}) = \mathbf{0}\) 인 \(\mathbf{X}^{*}\) ).

\[\begin{align} \mathbf{f}(\mathbf{X}) \approx \mathbf{f}(\mathbf{X}^{*}) + \left.\frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{X}}\right|_{\mathbf{X}^{*}} (\mathbf{X} - \mathbf{X}^{*}) \end{align}\]

\(\tilde{\mathbf{X}} = \mathbf{X} - \mathbf{X}^{*}\) 로 정의하면, 평형점에서 \(\mathbf{f}(\mathbf{X}^{*}) = \mathbf{0}\) 이므로 다음을 얻는다.

\[\begin{align} \dot{\tilde{\mathbf{X}}} \approx \underbrace{\left.\frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{X}}\right|_{\mathbf{X}^{*}}}_{\triangleq\, \mathbf{A}} \tilde{\mathbf{X}} \end{align}\]

시스템 행렬 \(\mathbf{A}\) 는 야코비안으로 계산한다.

\[\begin{align} \mathbf{A} = \left.\frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{X}}\right|_{\mathbf{X}^{*}} = \left[\begin{array}{cc} \dfrac{\partial f_1}{\partial \theta} & \dfrac{\partial f_1}{\partial \dot{\theta}} \\[8pt] \dfrac{\partial f_2}{\partial \theta} & \dfrac{\partial f_2}{\partial \dot{\theta}} \\ \end{array}\right]_{\mathbf{X}^{*}} = \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -\dfrac{g}{L}\cos{\theta^{*}} & -\delta \\ \end{array}\right] \end{align}\]

진자의 정지 평형점 \(\mathbf{X}^{*} = [0 \; 0]^T\) 를 대입하면 \(\cos(0) = 1\) 이므로 시스템 행렬은 다음과 같다.

\[\begin{align} \mathbf{A} = \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -\dfrac{g}{L} & -\delta \\ \end{array}\right] \end{align}\]

따라서, 진자 시스템은 \(\mathbf{X}^{*} = [0 \; 0]^T\) 근방에서 아래의 선형 시스템으로 근사된다.

\[\begin{align} \dot{\tilde{\mathbf{X}}} = \mathbf{A}\tilde{\mathbf{X}}, \qquad \mathbf{A} = \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -\dfrac{g}{L} & -\delta \\ \end{array}\right] \end{align}\]