Arc Length reparameterization
Keywords: Arc Length reparameterization, 호장재매개화
최근에 differential geometry에서 다루는 내용 중 일부를 살펴볼 일이 있었다. 다른 수식들은 이해하는데 큰 문제가 없었지만 의외로 curve reparameterization 수식을 이해하는데 애를 먹었다. Skimming 중에는 너무 당연해보여서 크게 신경쓰지 않았는데 역시 Life is not easy. 반성하는 마음으로 정리해둔다.
Reparameterization of curve
Arc length reparameterization은 curve reparameterization만 이해하면 거져 이해할 수 있는 개념이다. 아래 그림과 같이 임의의 regular curve가 주어져있다고 생각해보자 — 별 다른 설명이 없다면 이 포스팅에서 curve는 항상 regular curve를 의미한다. 너무나도 당연한 내용들이지만 그래도 그림에 보이는 것들을 차근차근 적어보면:
- 주어진 curve \(\alpha\)는 \(t \in [a, b]\)에서 정의된 \(t\)의 함수이다. 즉, \(t\)로 parametrization된 curve이다.
- \(t\)가 \(a\)부터 \(b\)까지 등속도로 이동할 때 \(\alpha(t)\)는 아래와 같이 움직였을 것이다.
- 주어진 curve는 regular curve였으므로 \(\alpha^{\prime}(t) \neq 0\)이다. 따라서, \(\alpha(a)\)에서 \(\alpha(b)\)를 향해 (trace를 따라) 움직였거나, 그 반대 방향으로 움직였을 것이다. 즉, 중간에 진행 방향을 바꾸지 않았을 것이다.
- 주어진 curve의 trace는 아래 그림과 같이 롤러코스터 모양이었을 것이고, trace의 양끝점이 (순서는 모르지만) \(\alpha(a)\), \(\alpha(b)\)였을 것이다.
- 사실 2.a, 2.b 정도가 \(t\)의 변화에 따라 \(\alpha(t)\)가 어떻게 움직였는지에 대해 파악할 수 있는 전부이다. \(\alpha(t)\)가 어떻게 정의되었는지를 모르는 상태에서는 당신은 \(\alpha(t)\)의 움직임에 대해 아무런 가정을 할 수 없다.
이제 아래의 그림을 다시 살펴보자. \(\alpha(t)\)가 모종의 방법으로 잘 정의되어서 롤러코스터의 고리 부분을 지날 때 속력이 더 높았다고 해보자. 달리 표현하면, \(t\)가 \(a\)부터 \(b\)까지 등속도로 이동할 때 \(\alpha(t)\)는 고리 부분에서 더 빠르게 이동한다는 의미이다. 그림에서는 \(t_0\), \(t_1\), \(t_2\), \(t_3\)는 등간격을 이루고 있는 반면 \(\alpha(t_0)\), \(\alpha(t_1)\), \(\alpha(t_2)\), \(\alpha(t_3)\)은 점점 간격이 벌어지는 것을 통해 이를 확인할 수 있다.
어느 날 자고 일어났더니 당신은 이 상황이 마음에 들지 않았다 — 왜 마음에 들지 않았는지는 다음 섹션에서 후술할테니 우선 “그런가보다” 하고 받아들이시라. 당신은 갑자기 아래와 같이 곡선을 parametrization하고 싶어졌다.
- \(t\) 대신에 \(s\)라는 변수를 정의하고, interval \((c, d)\)에서 정의되도록 curve를 parametrization하고 싶다.
- \(s\)가 interval \((c, d)\)를 등속도로 움직일 때, \(\alpha(s)\)도 등속도로 움직이게 하고 싶다.
당신이 하고 싶은 일을 그림으로 표현해보면 아래와 같으리라. 필자의 그림 실력이 부족하여 잘못된 방향으로 이해할까 노파심에 적자면, 필자는 아래 그림에서 \(\alpha(s_0)\), \(\alpha(s_1)\), \(\alpha(s_2)\), 그리고 \(\alpha(s_3)\)이 curve 내에서 등간격을 이루고 있음을 강조하고 싶었다.
당신이 하고 싶은 일은 의외로 몹시 간단하게 처리할 수 있는데, 단지 \(h:\ s \rightarrow t\) 함수를 하나 준비해주기만 하면된다. 아래 그림에서는 적색 화살표로 \(t = h(s)\)를 표시해두었다. 설명이 필요 없을 정도도 간단하지 않은가? \(s0\)에 해당하는 curve 위의 위치를 알고 싶을 때, (1) \(h(s_0)\)를 구하고 (2) 이를 \(\alpha\)에 넣어서 \(\alpha(h(s_0))\)를 봐주면 되는 것이다. 결과적으로 당신은 새로운 curve \(\beta(s) = \alpha(h(s))\)를 만들게 되는 것이다.
이와 같이 새롭게 사용할 parameter \(s\)로 부터 기존의 파라미터 \(t\)로 가는 함수 \(h:\ s \rightarrow t\)를 사용해서 curve를 입맛에 맞게 parametrization하는 과정이 바로 reparameterization이다.
Arc Length Function
Curve의 arc length function이란 무엇일까? Arc라는 단어가 원을 떠올리게 만들지만, arc length는 단순히 curve의 길이를 나타낸다. 보다 엄밀히 이야기하면, \(t \in [a, b]\)로 parametrization되는 curve의 arc length function은 아래와 같이 정의한다. 어감이 몹시 어색하지만 이를 국문으로는 호장함수(…)라고 부른다고 한다.
\[s(t) = \int_{a}^{t} ||\alpha^{\prime}(u)||\,du\]Arc Length reparameterization
이적 섹션에서 이야기한 arc length function \(s(t)\)를 열심히 째려보도록 하자. 우리는 regular curve에 대해서만 이야기하고 있으므로 \(\alpha^{\prime}(u) \neq 0\, \forall u \in \mathbb{R}\)이고, 따라서 \(||\alpha^{\prime}(u)|| \gt 0\, \forall u \in \mathbb{R}\)이다. 이것은 곧 \(s(t)\)가 순증가함수이고, 따라서 bijective function이며, 역함수를 갖는다는 이야기이다. \(s\)는 \(t\)에서 \(s\)로의 함수였으니 \(s^{-1}\)은 \(s\)에서 \(t\)로의 함수가 될테다. \(s\)에서 \(t\)로의 함수가 있으면 우리는 첫번째 섹션에서 보았듯이 reparameterization을 할 수 있다 — \(h = s^{-1}:\ s \rightarrow t\)로 두고 reparameterization을 한다는 이야기이다. 이렇듯 arc length function을 사용해서 — 보다 정확히는 그 역함수를 사용해서 — reparameterization을 하는 과정이 바로 arc length reparameterization이다. 예제로 \(\alpha(t) = (acos(t), asin(t), bt),\, t \in (0, 2\pi)\)와 같이 주어진 curve를 arc length reparameterization해보자.
\[\begin{align*} s(t) & = \int_{0}^{t} ||\alpha^{\prime}(u)||\,du \\ & = \int_{0}^{t} \sqrt{a^2sin(u) + a^2cos(t) + b^2}\,du \\ & = \sqrt{a^2 + b^2}t \\ s^{-1}(s) & = \frac{s}{\sqrt{a^2 + b^2}} \\ \therefore \beta(s) & = \alpha(s^{-1}(s)) \\ & = (acos(\frac{s}{\sqrt{a^2 + b^2}}), asin(\frac{s}{\sqrt{a^2 + b^2}}), b\frac{s}{\sqrt{a^2 + b^2}}) \end{align*}\]Why Arc Length reparameterization?
이전 섹션들을 통해서 그럭저럭 arc length reparameterization이 무엇인지는 설명했다. 그럼 대체 이짓을 왜하는 것일까? 결론부터 이야기하면, arc length \(s\)로 parametrization된 curve \(\beta(s)\)는 \(||\beta^{\prime}(s)|| = 1\)이라는 좋은 성질을 갖기 때문이다. 직관적으로 생각하면 속력이 1이라는것이니 s가 1만큼 움직이면 curve에서도 그 image가 1만큼 움직이는 것이다. 달리 말해 \(\beta(3)\), \(\beta(5)\) 따위를 찾아가면 진짜 curve의 시작점으로부터의 이동거리가 3, 5가 되는 지점이 나온다는 이야기이다. 딱 보아도 분석이 몹시 쉬울 것 같지 않은가?
이제 마지막으로 왜 \(\lVert \beta^{\prime}(s) \rVert = 1\) 이 되는지만 정리하도록 하겠다.
- \(s(t) = \int_{a}^{t} \lVert \alpha^{\prime}(u) \rVert \,du\)의 양변을 \(t\)에 대해서 미분하면 \(\frac{ds}{dt} = \lVert \alpha^{\prime}(t) \rVert\)를 얻는다.
- 1의 역수를 취하여 \(\frac{dt}{ds} = \frac{1}{\lVert \alpha^{\prime}(t) \rVert}\)을 얻는다.
- \(\beta(s) = \alpha(s^{-1}(s))\)를 \(s\)에 대해 미분하면 \(\frac{d\beta}{ds} = \frac{d}{ds}\alpha(s^{-1}(s)) = \frac{d\alpha}{dt}\frac{dt}{ds}\)
- \(\frac{d\alpha}{dt} = \alpha^{\prime}(t)\)이므로 (by definition), \(\frac{d\beta}{ds} = \frac{d\alpha}{dt}\frac{dt}{ds} = \alpha^{\prime}(t) \frac{1}{\lVert \alpha^{\prime}(t) \rVert} = \pm 1\)