Vectors (Part 2)

Textbook: pp.53 - 69

Keywords: Linearly Independent

“뭐라도 블로그에 옮겨적어봐야지”라는 심산으로 쭉 챕터를 읽어보았는데, 암울하게도 딱히 옮겨적을 가치가 있는 내용은 없었다. 뭐 이런 날도 있어야 블로그 포스팅이 조금이라도 덜 부담스럽지 (그래서, 조금이라도 더 부지런하게 업로드하지) 않겠는가? 이 챕터에서 다룬 내용은 벡터 집합. 선형 결합, 선형 독립성, 부분공간, 생성, 기저 따위가 있다. 모든 내용은 여느 선형대수학 교과서가 소개하는 그 수준인데, (솔직히 딱히 설명을 더 잘했다고 보기도 어려운…) 선형독립성을 수학적으로 정의하는 부분이 신박한 형태라서 그거라도 하나 정리해놓는다.

I. Linear Independent

아마도 많은 공돌이 친구들은 (나와 같다면) 임의의 벡터 집합 \(V = \{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{1}, ..., \mathbf{v}_{n}\}\) 이 linearly independent하다 (i.e. 선형독립) 의 수학적 정의를 아래와 같이 외우고 있을 것이다 (i.e. 아래의 명제가 만족하면 선형독립인 것으로).

\[\mathbf{0} = {\lambda}_{1}\mathbf{v}_{1} + {\lambda}_{2}\mathbf{v}_{2} + ... + {\lambda}_{n}\mathbf{v}_{n} \rightarrow {\lambda}_{1} = {\lambda}_{2} = ... = {\lambda}_{n} = 0\]

이 식 (또는 정의) 을 이 책에서는 조금 신박한 형태로 기술하는데, 아래 식의 해 (\(\lambda\)) 를 구할 수 있으면, \(V\) 가 linearly dependent하다고 한다 (i.e. 선형 종속). 뭐 솔직히 같은 말이라서 크게 주목할 필요는 없지만, 혹시라도 나중에 이 책에서 아래와 같은 표현이 나오면 당황하게 될 테니 적어 놓는다.

\[\mathbf{0} = \mathbf{v}_{1} + \frac{\lambda_{2}}{\lambda_1}\mathbf{v}_{2} + ... + \frac{\lambda_{n}}{\lambda_1}\mathbf{v}_{n}, \lambda_1 \neq 0\]

III. Exercises

이 챕터의 연습문제 풀이는 여기에서 확인할 수 있다.